solution

Xét bài toán ước lượng $\theta = \int_0^1 e^x\,dx = e - 1 \approx 1.718282$ bằng phương pháp Monte Carlo. Cho sẵn $n$ số $u_1,\ldots,u_n \in [0,1)$ (không cần sinh ngẫu nhiên). So sánh hai cách ước lượng:

1. Monte Carlo thông thường: đặt $Y_i = e^{u_i}$. $\hat\theta_1 = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i, \qquad s_1^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (Y_i-\hat\theta_1)^2$

2. Biến đối ngẫu (antithetic variates): với mỗi $u_i$, ghép thêm giá trị đối ngẫu $1-u_i$ và đặt $Z_i = \dfrac{e^{u_i}+e^{1-u_i}}{2}$. $\hat\theta_2 = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n Z_i, \qquad s_2^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (Z_i-\hat\theta_2)^2$

Kỹ thuật biến đối ngẫu thường cho phương sai $s_2^2$ nhỏ hơn nhiều so với $s_1^2$ trong khi cả hai đều ước lượng đúng $\theta$.

Quy ước: nếu $n=0$, cả bốn giá trị output bằng $0$. Nếu $n=1$, cả $s_1^2$ và $s_2^2$ quy định bằng $0$ (không chia cho $0$).

Ví dụ: $n=1$, $u_1=0.5$: $Y_1 = e^{0.5}\approx 1.648721$ nên $\hat\theta_1=1.648721$; $Z_1=\dfrac{e^{0.5}+e^{0.5}}{2}=1.648721$ nên $\hat\theta_2=1.648721$; $s_1^2=s_2^2=0$ (vì $n=1$). Output: 1.648721 0.000000 1.648721 0.000000.