solution

Phương pháp Monte Carlo ước lượng xác suất xảy ra một biến cố $A$ bằng cách lặp lại phép thử độc lập nhiều lần rồi tính tần suất xuất hiện của biến cố đó.

Cho kết quả của $N$ phép thử mô phỏng độc lập, mỗi kết quả là $x_i \in \{0,1\}$ ($x_i=1$ nếu biến cố $A$ xảy ra ở lần thử thứ $i$, $x_i=0$ nếu không xảy ra). Hãy tính:

• Ước lượng Monte Carlo của xác suất: $\hat p = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$
• Sai số chuẩn (standard error) của ước lượng: $SE = \sqrt{\dfrac{\hat p (1-\hat p)}{N}}$

Quy ước đặc biệt: nếu $N=0$ (không có phép thử nào), quy định $\hat p = 0$ và $SE = 0$.

Ví dụ: với $N=4$ và dãy kết quả 1 0 1 0, ta có $\hat p = 0.5$, $SE = \sqrt{0.5\cdot0.5/4} = 0.25$. Output: 0.500000 0.250000.