solution

Xét trò chơi Monty Hall tổng quát với $n$ cửa ($n\ge 2$), đúng một cửa (chọn ngẫu nhiên đều trong $n$ cửa) giấu phần thưởng. Người chơi chọn một cửa ban đầu (xác suất trúng là $1/n$, không phụ thuộc cửa nào được chọn do tính đối xứng). Người dẫn chương trình biết cửa nào có thưởng; anh ta mở $k$ cửa trong số các cửa không phải cửa người chơi đã chọn và không có thưởng ($0 \le k \le n-2$). Sau đó người chơi có cơ hội đổi sang một cửa khác, chọn ngẫu nhiên đều trong số các cửa còn đóng (không tính cửa ban đầu).

Hãy tính chính xác (dưới dạng phân số tối giản):

1. Xác suất thắng nếu không đổi cửa: $P(\text{thắng}) = 1/n$.
2. Xác suất thắng nếu đổi cửa: bằng định lý xác suất toàn phần kết hợp Bayes, $P(\text{thắng} \mid \text{đổi}) = \frac{n-1}{n\,(n-1-k)}.$

(Kết quả không phụ thuộc cửa ban đầu nào được chọn cũng như cụ thể cửa nào bị mở, chỉ phụ thuộc $n$ và $k$.)

Ví dụ kinh điển: $n=3$, $k=1$: không đổi thắng $1/3$; đổi thắng $2/3$.