solution

Cho tổng thể hữu hạn gồm $N$ số nguyên $x_1,\ldots,x_N$ ($1\le n\le N\le 12$, có thể có giá trị trùng nhau). Lấy mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại kích thước $n$: chọn ngẫu nhiên đều một trong số $\binom{N}{n}$ tập con $n$ phần tử có thể (mỗi tập con đồng khả năng). Gọi $\bar X$ là trung bình cộng của tập con được chọn, và $\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$ là trung bình tổng thể.

Cho một ngưỡng $d\ge 0$ (số thập phân hữu hạn), hãy tính chính xác (không làm tròn, bằng cách liệt kê toàn bộ $\binom{N}{n}$ tập con)

$P(|\bar X - \mu| > d)$

dưới dạng phân số tối giản p/q (nếu bằng 0 in 0/1, nếu bằng 1 in 1/1).

Ghi chú (không bắt buộc dùng để giải): phương sai lý thuyết của $\bar X$ khi lấy mẫu không hoàn lại bằng $\dfrac{\sigma^2}{n}\cdot\dfrac{N-n}{N-1}$ với $\sigma^2=\frac1N\sum(x_i-\mu)^2$; hệ số $\frac{N-n}{N-1}$ gọi là hệ số hiệu chỉnh tổng thể hữu hạn (FPC). Bài này yêu cầu liệt kê đúng để ra xác suất chính xác dưới dạng phân số, không dùng xấp xỉ CLT.

Ví dụ: $N=3, n=2, d=0.5$, tổng thể $\{1,2,3\}$: $\mu=2$. Ba tập con kích thước 2 có trung bình lần lượt $1.5, 2, 2.5$, độ lệch tuyệt đối là $0.5, 0, 0.5$ — không có tập con nào lệch quá $0.5$, nên kết quả là 0/1.