solution

Xét $n$ phép thử Bernoulli độc lập nhưng không nhất thiết cùng xác suất thành công: phép thử thứ $i$ thành công với xác suất $p_i = a_i / b_i$. Gọi $X$ là tổng số phép thử thành công trong $n$ phép thử. Phân phối của $X$ được gọi là phân phối nhị thức Poisson (Poisson binomial distribution) — một dạng tổng quát hoá của phân phối nhị thức khi các $p_i$ khác nhau.

Hãy tính chính xác $P(X = k)$ bằng phương pháp quy hoạch động: gọi $dp_i[j]$ là xác suất có đúng $j$ thành công trong $i$ phép thử đầu tiên, $dp_i[j] = dp_{i-1}[j] \cdot (1-p_i) + dp_{i-1}[j-1] \cdot p_i,$ với $dp_0[0] = 1$.

Ví dụ: $n=5$, tất cả $p_i = 1/2$ (trường hợp đặc biệt trùng với nhị thức chuẩn), $k=2$: $P(X=2) = \binom{5}{2}/32 = 5/16$.