solution

Tài sản $X$ của các cá nhân trong một cộng đồng được giả định tuân theo phân phối Pareto loại I với ngưỡng tối thiểu $x_m>0$ và tham số hình dạng $\alpha>1$ (điều kiện $\alpha>1$ đảm bảo kỳ vọng hữu hạn), hàm mật độ: $f(x) = \frac{\alpha x_m^\alpha}{x^{\alpha+1}}, \quad x \ge x_m$

• Kỳ vọng: $E[X] = \dfrac{\alpha x_m}{\alpha - 1}$
• Đường cong Lorenz của phân phối Pareto cho biết: nhóm $p \times 100\%$ giàu nhất cộng đồng (ứng với phân vị trên $p$) nắm giữ tỷ trọng tổng tài sản là: $L(p) = p^{1-\frac{1}{\alpha}}, \quad 0<p<1$ (Công thức này KHÔNG phụ thuộc vào $x_m$, chỉ phụ thuộc $\alpha$.)

Cho $x_m, \alpha$ và $n$ giá trị $p_1,\dots,p_n \in (0,1)$, hãy tính:

1. Kỳ vọng $E[X]$ (in trên 1 dòng).
2. Với mỗi $p_i$: tỷ trọng tài sản $L(p_i)$ mà nhóm giàu nhất $p_i\times100\%$ nắm giữ.

Ví dụ: $x_m=1,\alpha=2$, $p=0.2$ (20% giàu nhất) nắm giữ $L(0.2)=0.2^{0.5}\approx 0.447214$ (~44.7%) tổng tài sản — minh hoạ tính bất bình đẳng của phân phối Pareto.