solution

Thời gian sống (tuổi thọ) $X$ của một linh kiện tuân theo phân phối Weibull với tham số hình dạng $k>0$ và tham số tỷ lệ $\lambda>0$, hàm mật độ: $f(x) = \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}\exp\left(-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\right), \quad x>0$

• Tuổi thọ trung vị (median lifetime), tức thời điểm $m$ sao cho $P(X\le m)=0.5$: $m = \lambda(\ln 2)^{1/k}$
• Hàm hazard (tỷ lệ hỏng tức thời tại thời điểm $t>0$, đại lượng phổ biến trong phân tích độ tin cậy): $h(t) = \frac{k}{\lambda}\left(\frac{t}{\lambda}\right)^{k-1}$

Cho $k, \lambda$ và $n$ thời điểm $t_1,\dots,t_n>0$, hãy tính:

1. Tuổi thọ trung vị $m$ (in trên 1 dòng).
2. Với mỗi $t_i$: hàm hazard $h(t_i)$.

Ví dụ: $k=1,\lambda=5$ (trường hợp đặc biệt của Weibull trùng với phân phối mũ), $h(t)=1/5=0.2$ với mọi $t>0$; tuổi thọ trung vị $=5\ln 2\approx3.465736$.