solution

Một bác sĩ cần quyết định có điều trị (hành động $1$) hay không điều trị (hành động $0$) cho bệnh nhân, dựa trên kết quả một xét nghiệm. Biết xác suất tiên nghiệm mắc bệnh $P(H) = \pi$, độ nhạy $\text{se} = P(\text{dương tính}\mid H)$, độ đặc hiệu $\text{sp} = P(\text{âm tính} \mid \overline{H})$, và kết quả xét nghiệm quan sát được $r \in \{0,1\}$.

Trước hết, tính xác suất hậu nghiệm $P(H \mid r)$ bằng công thức Bayes (nếu mẫu số bằng $0$, quy ước $P(H\mid r) = 0$).

Cho ma trận chi phí $c_{a,s}$ — chi phí (kỳ vọng thiệt hại) khi thực hiện hành động $a \in \{0,1\}$ trong khi trạng thái thật của bệnh nhân là $s \in \{0,1\}$ ($s=0$: không bệnh, $s=1$: có bệnh), gồm bốn giá trị $c_{00}, c_{01}, c_{10}, c_{11}$ theo thứ tự đó. Chi phí kỳ vọng của hành động $a$, dựa trên xác suất hậu nghiệm vừa tính, là:

$E[\text{cost} \mid a] = c_{a,0}\cdot P(\overline{H}\mid r) + c_{a,1}\cdot P(H \mid r).$

Hãy chọn hành động $a^*$ có chi phí kỳ vọng nhỏ nhất (nếu bằng nhau, chọn hành động $0$).

Ví dụ: $\pi=0.01$, $\text{se}=0.9$, $\text{sp}=0.95$, $r=1$ (dương tính); chi phí $c_{00}=0, c_{01}=10, c_{10}=1, c_{11}=0$. Xác suất hậu nghiệm $P(H\mid r)=0.153846$; chi phí kỳ vọng hành động $0$ là $10 \times 0.153846 = 1.538462$, hành động $1$ là $1\times 0.846154=0.846154$; vậy chọn hành động $1$ với chi phí $0.846154$.