solution

Cho một mạng Bayes dạng chuỗi $A \to B \to C$, trong đó $A$ có $n_A$ trạng thái, $B$ có $n_B$ trạng thái, $C$ có $n_C$ trạng thái (đánh số từ 1). Cho:

• Phân phối tiên nghiệm $P(A)$: vector $n_A$ số.
• Bảng xác suất có điều kiện $P(B \mid A)$: ma trận $n_A \times n_B$, hàng $i$ là phân phối của $B$ khi $A=i$.
• Bảng xác suất có điều kiện $P(C \mid B)$: ma trận $n_B \times n_C$, hàng $j$ là phân phối của $C$ khi $B=j$.

Biến $C$ được quan sát ở trạng thái $c$. Vì $C$ chỉ phụ thuộc $B$ và $B$ chỉ phụ thuộc $A$ (tính chất Markov của mạng Bayes), hậu nghiệm của $A$ được tính bằng cách liệt kê (enumerate) qua toàn bộ giá trị của $B$:

$P(A=a \mid C=c) \propto P(A=a) \sum_{b=1}^{n_B} P(B=b \mid A=a)\, P(C=c \mid B=b)$

Hãy tính phân phối hậu nghiệm đầy đủ $P(A \mid C=c)$ cho mọi $a = 1, \dots, n_A$.