Các lượt nộp
    Danh sách bài
    Trang chủ
    Báo lỗi

    solution

    Đề bài: [Xác suất - Thống kê] Suy luận Bayes trên mạng Bayes ba biến

    Xét một mạng Bayes dạng chuỗi (chain) gồm ba biến ngẫu nhiên rời rạc A→B→CA \to B \to CA→B→C, nghĩa là CCC phụ thuộc BBB, BBB phụ thuộc AAA, và CCC độc lập có điều kiện với AAA khi biết BBB: P(C∣A,B)=P(C∣B)P(C \mid A, B) = P(C \mid B)P(C∣A,B)=P(C∣B).

    • AAA nhận mmm giá trị 1,…,m1, \dots, m1,…,m với phân phối tiên nghiệm P(A=i)P(A=i)P(A=i) (∑iP(A=i)=1\sum_i P(A=i) = 1∑i​P(A=i)=1);
    • BBB nhận kkk giá trị, cho bởi bảng P(B=j∣A=i)P(B=j \mid A=i)P(B=j∣A=i) (mỗi hàng iii là một phân phối, tổng theo jjj bằng 1);
    • CCC nhận lll giá trị, cho bởi bảng P(C=t∣B=j)P(C=t \mid B=j)P(C=t∣B=j) (mỗi hàng jjj là một phân phối, tổng theo ttt bằng 1).

    Quan sát được C=cC = cC=c (một giá trị cụ thể, 1≤c≤l1 \le c \le l1≤c≤l). Hãy tính xác suất hậu nghiệm P(A=i∣C=c)P(A=i \mid C=c)P(A=i∣C=c) với mọi i=1,…,mi = 1, \dots, mi=1,…,m, bằng cách suy luận chính xác (exact inference), lấy tổng (marginalize) qua biến ẩn BBB:

    P(C=c∣A=i)=∑j=1kP(B=j∣A=i)⋅P(C=c∣B=j),P(A=i∣C=c)=P(A=i)⋅P(C=c∣A=i)∑i′=1mP(A=i′)⋅P(C=c∣A=i′).P(C=c \mid A=i) = \sum_{j=1}^{k} P(B=j \mid A=i) \cdot P(C=c \mid B=j), \qquad P(A=i \mid C=c) = \frac{P(A=i) \cdot P(C=c \mid A=i)}{\sum_{i'=1}^{m} P(A=i') \cdot P(C=c \mid A=i')}.P(C=c∣A=i)=∑j=1k​P(B=j∣A=i)⋅P(C=c∣B=j),P(A=i∣C=c)=∑i′=1m​P(A=i′)⋅P(C=c∣A=i′)P(A=i)⋅P(C=c∣A=i)​.

    Đảm bảo tổng ở mẫu số (xác suất của bằng chứng C=cC=cC=c) luôn dương.

    Ví dụ: m=2,k=2,l=2m=2, k=2, l=2m=2,k=2,l=2; P(A)=(0.5,0.5)P(A) = (0.5, 0.5)P(A)=(0.5,0.5); P(B∣A=1)=(0.8,0.2)P(B\mid A{=}1) = (0.8, 0.2)P(B∣A=1)=(0.8,0.2), P(B∣A=2)=(0.3,0.7)P(B\mid A{=}2) = (0.3, 0.7)P(B∣A=2)=(0.3,0.7); P(C∣B=1)=(0.9,0.1)P(C\mid B{=}1) = (0.9, 0.1)P(C∣B=1)=(0.9,0.1), P(C∣B=2)=(0.2,0.8)P(C\mid B{=}2) = (0.2, 0.8)P(C∣B=2)=(0.2,0.8); quan sát C=1C=1C=1. Kết quả: P(A=1∣C=1)≈0.649573P(A{=}1\mid C{=}1) \approx 0.649573P(A=1∣C=1)≈0.649573, P(A=2∣C=1)≈0.350427P(A{=}2\mid C{=}1) \approx 0.350427P(A=2∣C=1)≈0.350427.

    • Định dạng đầu vào:

      Dòng đầu tiên chứa ba số nguyên m k lm\ k\ lm k l (1≤m,k,l≤2001 \le m, k, l \le 2001≤m,k,l≤200).

      Dòng thứ hai chứa mmm số thực — phân phối tiên nghiệm P(A=1),…,P(A=m)P(A=1), \dots, P(A=m)P(A=1),…,P(A=m).

      mmm dòng tiếp theo, dòng thứ iii chứa kkk số thực — hàng iii của bảng P(B=⋅∣A=i)P(B=\cdot \mid A=i)P(B=⋅∣A=i).

      kkk dòng tiếp theo, dòng thứ jjj chứa lll số thực — hàng jjj của bảng P(C=⋅∣B=j)P(C=\cdot \mid B=j)P(C=⋅∣B=j).

      Dòng cuối cùng chứa số nguyên ccc (1≤c≤l1 \le c \le l1≤c≤l) — giá trị quan sát được của CCC.

    • Định dạng đầu ra:

      In ra mmm số thực trên một dòng, cách nhau bởi một khoảng trắng: P(A=1∣C=c),…,P(A=m∣C=c)P(A=1\mid C=c), \dots, P(A=m\mid C=c)P(A=1∣C=c),…,P(A=m∣C=c), mỗi số làm tròn tới đúng 6 chữ số thập phân.

    Ví dụ:

    Đầu vào:

    2 2 2
0.5 0.5
0.8 0.2
0.3 0.7
0.9 0.1
0.2 0.8
1

    Đầu ra:

    0.649573 0.350427

    Đầu vào:

    3 2 3
0.2 0.3 0.5
0.7 0.3
0.4 0.6
0.5 0.5
0.1 0.5 0.4
0.4 0.3 0.3
2

    Đầu ra:

    0.218905 0.283582 0.497512

    Đang tải editor...