solution

Cho bảng chéo (contingency table) tần số quan sát kích thước $r \times c$, phần tử $O_{ij}$ là số nguyên không âm ($i=1,\dots,r$; $j=1,\dots,c$). Trong kiểm định tính độc lập Chi-bình phương, tần số kỳ vọng của ô $(i,j)$ dưới giả thuyết $H_0$ (hai biến độc lập) được tính bằng:

$E_{ij} = \frac{R_i \times C_j}{N}$

trong đó $R_i = \sum_{j} O_{ij}$ là tổng hàng $i$, $C_j = \sum_i O_{ij}$ là tổng cột $j$, và $N = \sum_{i,j} O_{ij}$ là tổng toàn bảng ($N > 0$).

Hãy tính toàn bộ ma trận tần số kỳ vọng $E_{ij}$.

Ví dụ: với bảng $\begin{pmatrix}10 & 20\\30 & 40\end{pmatrix}$: $R_1=30, R_2=70, C_1=40, C_2=60, N=100$, ta có $E_{11}=12, E_{12}=18, E_{21}=28, E_{22}=42$.