solution

Cho biến ngẫu nhiên liên tục $X$ có hàm mật độ xác suất $f(x)$ xác định từng khúc trên $n$ đoạn rời nhau (không chồng lấn), đoạn thứ $i$ là $[l_i,r_i]$ ($l_i<r_i$) với

$f(x) = A_i + B_i x + C_i x^2,\quad x\in[l_i,r_i],$

và $f(x)=0$ với $x$ nằm ngoài tất cả các đoạn trên. (Dữ liệu đầu vào không đảm bảo $f$ là mật độ xác suất hợp lệ — tức không nhất thiết $\int f = 1$ hay $f\ge0$ trên toàn miền; bạn chỉ cần tính đúng tích phân theo công thức.)

Cho khoảng truy vấn $[L,R]$ ($L\le R$), hãy tính

$P(L\le X\le R)=\int_L^R f(x)\,dx,$

bằng cách với mỗi đoạn $[l_i,r_i]$, lấy phần giao $[\max(l_i,L),\min(r_i,R)]$ (bỏ qua nếu phần giao rỗng hoặc suy biến) rồi cộng dồn giá trị nguyên hàm chính xác $F_i(x)=A_ix+\dfrac{B_i}{2}x^2+\dfrac{C_i}{3}x^3$ tại hai đầu mút.

Ví dụ: $n=1$, đoạn $[0,1]$ với $f(x)=2x$ (tức $A=0,B=2,C=0$), truy vấn $[0,1]$: $\int_0^1 2x\,dx = 1$.