solution

Thời gian hoạt động $X$ của một thiết bị tuân theo phân phối mũ với tham số tốc độ $\lambda > 0$, $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ với $t \ge 0$.

Với mỗi cặp $(s,t)$ ($s, t \ge 0$), hãy tính hai giá trị:

1. $P(X > s+t)$;
2. $P(X > s+t \mid X > s)$ — xác suất thiết bị còn hoạt động thêm ít nhất $t$ đơn vị thời gian nữa, biết nó đã hoạt động được $s$ đơn vị (sử dụng công thức $P(A\mid B) = P(A \cap B)/P(B)$, lưu ý $s+t \ge s$ nên $A \cap B = A$).

Đây chính là tính chất không nhớ (memoryless) của phân phối mũ: giá trị (2) không phụ thuộc vào $s$.

Ví dụ: $\lambda=0.5$, $(s,t)=(2,1)$: $P(X>3)=e^{-1.5}\approx 0.223130$, $P(X>3\mid X>2)=e^{-0.5}\approx 0.606531$.