solution

Trong kiểm định phù hợp (goodness-of-fit) với $k$ hạng mục, thống kê $\chi^2 = \sum_{i=1}^{k}\dfrac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$ (với $E_i=p_i N$, $N=\sum_i O_i$) tuân theo xấp xỉ phân phối Chi-bình phương với $df = k-1$ bậc tự do. Khi $df$ là số chẵn, hàm phân phối đuôi (p-value) $P(\chi^2_{df} > x)$ có công thức đóng chính xác (không cần bảng tra hay hàm gamma không đầy đủ số): đặt $df = 2m$ ($m$ nguyên dương), khi đó

$p\text{-value} = P(\chi^2_{df} > x) = e^{-x/2}\sum_{i=0}^{m-1} \frac{(x/2)^i}{i!}$

Bài toán: cho $k$ hạng mục với $k$ là số lẻ (để $df=k-1$ luôn chẵn), dãy quan sát $O_1,\dots,O_k$, dãy tỷ lệ kỳ vọng $p_1,\dots,p_k$ ($\sum p_i=1$) và mức ý nghĩa $\alpha$. Hãy tính thống kê $\chi^2$, tính chính xác p-value bằng công thức trên (với $x=\chi^2$, $m=df/2$), rồi kết luận: nếu p-value $< \alpha$ thì bác bỏ $H_0$, ngược lại (kể cả bằng) thì chấp nhận $H_0$.

Ví dụ: $k=5$ ($df=4$, $m=2$), $O=(18,22,20,25,15)$, $p=(0.2,0.2,0.2,0.2,0.2)$, $\alpha=0.05$: $\chi^2=2.9000$, p-value $=0.574697$, kết luận "Chấp nhận H0".