solution

Có $m$ tổng thể độc lập; tổng thể thứ $i$ có trung bình $\mu_i$ và độ lệch chuẩn $\sigma_i$. Từ tổng thể thứ $i$, lấy một mẫu ngẫu nhiên kích thước $n_i$ (độc lập giữa các tổng thể) và gọi $\bar X_i$ là trung bình mẫu tương ứng. Xét tổ hợp tuyến tính, với các hệ số $c_i$ cho trước:

$Y = \sum_{i=1}^{m} c_i \bar X_i$

Theo CLT (áp dụng cho từng $\bar X_i$ khi $n_i$ đủ lớn) và do các $\bar X_i$ độc lập, $Y$ xấp xỉ phân phối chuẩn với:

$E[Y] = \sum_{i=1}^m c_i \mu_i, \qquad Var(Y) = \sum_{i=1}^m c_i^2 \cdot \frac{\sigma_i^2}{n_i}$

Cho ngưỡng $t$, hãy tính $P(Y \le t)$.

Quy ước trường hợp suy biến: nếu $Var(Y) = 0$ (tức mọi $c_i\sigma_i = 0$) thì $Y$ tất định bằng $E[Y]$: kết quả là $1$ nếu $E[Y] \le t$, ngược lại là $0$.

Ví dụ: $m=1$, $(c,\mu,\sigma,n) = (1, 100, 10, 1)$, $t=120$: $Y\sim N(100,100)$, $z=(120-100)/10=2$, kết quả $P(Y\le120)\approx0.977250$.