solution

Cho $n$ biến ngẫu nhiên độc lập $X_1,\dots,X_n$, trong đó $X_i \sim N(\mu_i,\sigma_i^2)$. Xét tổ hợp tuyến tính

$Y = \sum_{i=1}^n c_i X_i.$

Vì tổ hợp tuyến tính của các biến chuẩn độc lập cũng là một biến chuẩn, ta có $Y \sim N(\mu_Y,\sigma_Y^2)$ với

$\mu_Y=\sum_{i=1}^n c_i\mu_i,\qquad \sigma_Y^2=\sum_{i=1}^n c_i^2\sigma_i^2.$

Cho ngưỡng $t$, hãy tính $P(Y>t)$.

Trường hợp đặc biệt: nếu $\sigma_Y^2=0$ (ví dụ khi tất cả $\sigma_i=0$ hoặc $c_i=0$), $Y$ suy biến thành hằng số $\mu_Y$; khi đó quy ước $P(Y>t)=1$ nếu $\mu_Y>t$, ngược lại $P(Y>t)=0$.

Ví dụ: $n=1$, $\mu_1=0,\sigma_1=1,c_1=1$, $t=0$ → $Y\sim N(0,1)$, $P(Y>0)=0.5$.