solution

Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập $X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ và $X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$. Xét tổ hợp tuyến tính $Y = aX_1 + bX_2$ với $a, b$ là hằng số thực cho trước. Khi đó $Y$ cũng là biến ngẫu nhiên chuẩn với

$Y \sim N\big(a\mu_1 + b\mu_2,\ a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2\big).$

Cho $\mu_1, \sigma_1, \mu_2, \sigma_2, a, b$ và một ngưỡng $y$ (giả thiết $a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2>0$), hãy tính $P(Y \le y)$.

Ví dụ: $X_1\sim N(0,1)$, $X_2\sim N(0,1)$, $a=1,b=1,y=0$: $Y\sim N(0,2)$ nên $P(Y\le 0)=0.5$.