solution

Một nhà máy có $n$ dây chuyền sản xuất cùng một loại sản phẩm. Dây chuyền thứ $i$ ($i = 1, \dots, n$) đóng góp tỉ lệ $p_i$ trong tổng sản lượng của nhà máy (với $\sum_{i=1}^n p_i = 1$), và tỉ lệ sản phẩm lỗi của riêng dây chuyền đó là $q_i$ (tức là $P(\text{lỗi} \mid \text{dây chuyền } i) = q_i$).

Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho chung của nhà máy và phát hiện sản phẩm đó bị lỗi. Với mỗi $i = 1, \dots, n$, hãy tính xác suất hậu nghiệm $P(\text{dây chuyền } i \mid \text{lỗi})$ theo công thức Bayes:

$P(\text{dây chuyền } i \mid \text{lỗi}) = \frac{p_i q_i}{\sum_{j=1}^n p_j q_j}.$

Nếu $\sum_{j=1}^n p_j q_j = 0$ (không dây chuyền nào có thể sinh lỗi), quy ước mọi xác suất hậu nghiệm bằng $0$.

Ví dụ: Với $n=2$, dây chuyền 1 chiếm $50\%$ sản lượng với tỉ lệ lỗi $10\%$, dây chuyền 2 chiếm $50\%$ với tỉ lệ lỗi $5\%$. Biết sản phẩm lấy ra bị lỗi, xác suất nó đến từ dây chuyền 1 là $0.666667$, từ dây chuyền 2 là $0.333333$.