solution

Có $m$ chiếc hộp, hộp thứ $i$ được chọn với xác suất $p_i$ (không nhất thiết $\sum p_i = 1$ nếu có sai số làm tròn, nhưng đề đảm bảo hợp lệ về mặt xác suất). Bên trong hộp $i$ có $k_i$ ngăn; nếu đã chọn hộp $i$, ngăn thứ $j$ của hộp đó được chọn với xác suất $r_{ij}$ (với $\sum_{j} r_{ij} = 1$). Trong ngăn $(i,j)$, xác suất rút được một viên bi đỏ là $q_{ij}$.

Người chơi thực hiện quy trình: chọn hộp $\to$ chọn ngăn trong hộp đó $\to$ rút một viên bi, và quan sát được bi rút ra là màu đỏ. Với mỗi cặp (hộp $i$, ngăn $j$), hãy tính xác suất hậu nghiệm

$P(\text{hộp}=i,\ \text{ngăn}=j \mid \text{đỏ}) = \frac{p_i\, r_{ij}\, q_{ij}}{\sum_{i',j'} p_{i'}\, r_{i'j'}\, q_{i'j'}}.$

Nếu mẫu số (tức $P(\text{đỏ})$) bằng $0$, in ra undefined.

Ví dụ: $m=1$ hộp với $p_1=1.0$, hộp có $1$ ngăn với $r_{11}=1.0$, $q_{11}=0.5$: xác suất hậu nghiệm của ngăn duy nhất đó là $1.000000$.