solution

Cho mẫu ngẫu nhiên kích thước $n$ ($n\ge2$) với trung bình mẫu $\bar x$ và độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh $s$ (đã tính sẵn, cho trực tiếp ở input — không cần tính lại từ dữ liệu thô). Kiểm định giả thuyết $H_0:\mu=\mu_0$ đối $H_1:\mu\neq\mu_0$ dùng thống kê Student:

$t=\dfrac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt n},\qquad df=n-1$

Yêu cầu: tự cài đặt (không dùng scipy/statsmodels hay bất kỳ thư viện ngoài nào — chỉ dùng module math chuẩn) hàm tính giá trị p hai phía chính xác theo phân phối Student với $df$ bậc tự do, bằng công thức:

$p = I_{\frac{df}{df+t^2}}\!\left(\dfrac{df}{2},\dfrac12\right)$

trong đó $I_x(a,b)$ là hàm beta không đầy đủ chính quy hoá (regularized incomplete beta function), có thể tính bằng khai triển phân số liên tục chuẩn (continued fraction) kết hợp math.lgamma. Sau đó kết luận bác bỏ $H_0$ khi $p\le\alpha$. Quy ước: nếu $s=0$ thì lấy $t=0$ và $p=1$ (không đủ bằng chứng bác bỏ).

Ví dụ: $n=16$, $\bar x=22.5$, $\mu_0=20$, $s=5$, $\alpha=0.05$: $t=(22.5-20)/(5/4)=2.0$, $df=15$; tính được $p\approx0.0639>0.05$ nên kết luận Khong bac bo H0.