solution

Cho ma trận thiết kế $X$ kích thước $n \times k$ (nếu mô hình có hệ số chặn thì cột tương ứng đã là cột toàn số 1, được cho sẵn trong $X$) và vector quan sát $y$ kích thước $n$. Ước lượng bình phương nhỏ nhất (OLS) của vector hệ số $\beta = (\beta_1,\dots,\beta_k)$ là nghiệm của phương trình chuẩn:

$X^T X\, \beta = X^T y$

Đề bài đảm bảo $X^T X$ khả nghịch (các cột của $X$ độc lập tuyến tính và $n \ge k$). Hãy tính vector $\beta$.

Ví dụ: $n=2, k=2$, $X = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}$, $y=(3,5)$. Giải hệ ta được $\beta = (1, 2)$ (vì $1 + 1\cdot 1 = 3$... thực ra khớp đúng $1\cdot1+2\cdot1=3$? kiểm tra: dòng 1: $1\beta_1+1\beta_2=3$, dòng 2: $1\beta_1+2\beta_2=5 \Rightarrow \beta_2=2,\beta_1=1$). In ra: 1.0000 2.0000.