solution

Có $n$ lá thư khác nhau được gửi tương ứng cho $n$ người khác nhau, nhưng người phát thư phát ngẫu nhiên (mỗi hoán vị trong $n!$ hoán vị của việc phát thư đồng khả năng xảy ra). Một người được gọi là "nhận đúng thư" nếu người đó nhận được đúng lá thư của mình.

Hãy tính xác suất để có đúng $k$ người (trong $n$ người) nhận đúng thư của mình.

Gợi ý công thức: gọi $D(m)$ là số hoán vị của $m$ phần tử không có điểm cố định nào (số hoán vị hoàn toàn không cố định, $D(0)=1$, $D(1)=0$, $D(m) = (m-1)\big(D(m-1)+D(m-2)\big)$ với $m\ge 2$). Số cách để đúng $k$ người nhận đúng thư là $\binom{n}{k} D(n-k)$, do đó: $P(\text{đúng } k \text{ người nhận đúng thư}) = \frac{\binom{n}{k} D(n-k)}{n!}$

Ví dụ: $n=5, k=2$: $\binom{5}{2} D(3) = 10 \times 2 = 20$, $5! = 120$, xác suất $= 20/120 = 1/6$.