solution

Trong một quần thể, xác suất mắc bệnh (trước khi xét nghiệm) là $p = P(\text{Bệnh})$ — gọi là xác suất tiên nghiệm. Một xét nghiệm có:

• độ nhạy (sensitivity) $se = P(\text{Dương tính} \mid \text{Bệnh})$,
• độ đặc hiệu (specificity) $sp = P(\text{Âm tính} \mid \text{Không bệnh})$.

Một người được xét nghiệm và có kết quả dương tính. Áp dụng công thức Bayes, xác suất hậu nghiệm người đó thực sự mắc bệnh là:

$P(\text{Bệnh} \mid \text{Dương tính}) = \frac{p \cdot se}{p \cdot se + (1-p)(1-sp)}$

Tất cả $p, se, sp$ được cho dưới dạng phân số chính xác $a/b$ (không nhất thiết tối giản). Hãy tính $P(\text{Bệnh}\mid\text{Dương tính})$ chính xác bằng số học phân số (không dùng số thực dấu phẩy động).

Ví dụ: $p=1/100$, $se=99/100$, $sp=95/100$. Ta có $P(\text{Bệnh}\mid\text{Dương tính}) = \dfrac{0.01\times0.99}{0.01\times0.99+0.99\times0.05} = \dfrac{1}{6}$.