solution

Biến ngẫu nhiên liên tục $X\sim Beta(a,b)$ với $a,b$ nguyên dương có hàm mật độ

$f(x)=\frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)},\qquad 0\le x\le 1.$

Khi $a,b$ nguyên, hàm phân phối tích lũy có công thức đóng liên hệ với phân phối nhị thức:

$F(x)=P(X\le x)=\sum_{i=a}^{a+b-1}\binom{a+b-1}{i}x^{i}(1-x)^{a+b-1-i},\qquad 0\le x\le 1$

(và $F(x)=0$ với $x<0$, $F(x)=1$ với $x>1$).

Cho $a,b$ và $m$ truy vấn, mỗi truy vấn là một cặp $(x_1,x_2)$ với $0\le x_1\le x_2\le 1$. Với mỗi truy vấn hãy tính $P(x_1\le X\le x_2)=F(x_2)-F(x_1)$.

Ví dụ: $a=1,b=1$ (chính là $U(0,1)$), truy vấn $(0, 0.5)$: $P(0\le X\le 0.5)=0.5$ $\Rightarrow$ in ra 0.500000.