solution

Một bệnh có tỷ lệ mắc trong dân số là $p$. Xét nghiệm chẩn đoán bệnh này có độ nhạy $se$ (xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính khi người được xét nghiệm thực sự mắc bệnh) và độ đặc hiệu $sp$ (xác suất xét nghiệm cho kết quả âm tính khi người đó không mắc bệnh).

Chọn ngẫu nhiên một người từ dân số, thực hiện xét nghiệm và nhận được kết quả dương tính. Áp dụng định lý Bayes, hãy tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh:

$P(\text{bệnh}\mid \text{dương}) = \dfrac{P(\text{bệnh})P(\text{dương}\mid\text{bệnh})}{P(\text{bệnh})P(\text{dương}\mid\text{bệnh}) + P(\text{không bệnh})P(\text{dương}\mid\text{không bệnh})}$

Ví dụ: với $p=0.01$, $se=0.99$, $sp=0.95$, ta có tử số $=0.01\times0.99=0.0099$, mẫu số $=0.0099+0.99\times0.05=0.0594$, kết quả $\approx 0.166667$.