solution

Một người chơi bắt đầu với số vốn $i$ đồng, chơi liên tiếp các ván cược độc lập, mỗi ván thắng $1$ đồng với xác suất $p = a/b$ và thua $1$ đồng với xác suất $q = 1-p$. Người chơi dừng lại khi vốn về $0$ (phá sản) hoặc đạt mốc $N$ (thắng, $0 < i < N$).

Hãy tính xác suất người chơi bị phá sản (vốn về $0$ trước khi đạt $N$), sử dụng công thức kinh điển của bài toán Gambler's Ruin:

• Nếu $p \ne q$: $\displaystyle P_{\text{ruin}}(i) = \frac{(q/p)^N - (q/p)^i}{(q/p)^N - 1}$.
• Nếu $p = q = 1/2$: $\displaystyle P_{\text{ruin}}(i) = \frac{N-i}{N}$.

Ví dụ: $i=1, N=3, a=1, b=3$ (tức $p=1/3, q=2/3$). Ta có $r=q/p=2$, $P_{\text{ruin}} = \dfrac{2^3-2^1}{2^3-1} = \dfrac{6}{7}$, in ra 6/7.