solution

Có $n$ hộp bi, đánh số từ $1$ đến $n$. Người ta chọn ngẫu nhiên một hộp theo cơ chế "trọng số": hộp thứ $i$ có trọng số nguyên dương $w_i$, và xác suất hộp $i$ được chọn là $P(H_i) = \frac{w_i}{\sum_{j=1}^{n} w_j}.$ Hộp thứ $i$ chứa $t_i$ viên bi, trong đó có $r_i$ viên màu đỏ ($0 \le r_i \le t_i$, $t_i \ge 1$). Sau khi chọn được một hộp, người ta rút ngẫu nhiên (đồng khả năng) một viên bi từ hộp đó.

Gọi $A$ là biến cố "viên bi rút được có màu đỏ". Áp dụng công thức xác suất toàn phần: $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i)\, P(A \mid H_i) = \sum_{i=1}^{n} \frac{w_i}{\sum_j w_j} \cdot \frac{r_i}{t_i}.$

Hãy tính $P(A)$ và biểu diễn kết quả dưới dạng phân số tối giản (không phải số thập phân).

Ví dụ: $n=2$, hộp 1 có $w_1=1, r_1=1, t_1=2$; hộp 2 có $w_2=1, r_2=1, t_2=3$. Khi đó $P(A) = \frac12\cdot\frac12 + \frac12\cdot\frac13 = \frac{5}{12}$.