solution

Thực hiện $n$ phép thử Bernoulli độc lập, mỗi phép thử có xác suất thành công $p = a/b$ (với $a, b$ là số nguyên cho trước, $0 \le a \le b$). Gọi $X$ là số lần thành công trong $n$ phép thử. Theo CLT, $X$ xấp xỉ phân phối chuẩn $N\big(np,\ np(1-p)\big)$.

Với mỗi truy vấn gồm cặp $(k_1, k_2)$ ($0 \le k_1 \le k_2 \le n$, nguyên), hãy tính xấp xỉ $P(k_1 \le X \le k_2)$ dùng hiệu chỉnh liên tục:

$P(k_1\le X\le k_2) \approx \Phi\!\left(\frac{k_2+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) - \Phi\!\left(\frac{k_1-0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$

Quy ước trường hợp suy biến: nếu $p=0$ hoặc $p=1$ (khi đó $np(1-p)=0$), $X$ tất định bằng $np$: kết quả là $1$ nếu $k_1 \le np \le k_2$, ngược lại là $0$.

Ví dụ: $n=10, p=1/2$. Với truy vấn $(3,7)$: $np=5$, $\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{2.5}\approx1.5811$; kết quả xấp xỉ $\approx 0.886154$.